Todos sabemos que o tamanho da tela de um monitor ou aparelho de TV é dado pelo comprimento da diagonal da tela. Mas se pegarmos dois monitores com diagonais de mesmo tamanho, um em formato widescreen e outro 4:3, qual das telas terá a área maior?

Para resolver esta dúvida simples, vou utilizar conceitos básicos de trigonometria e geometria. No final, apresentarei uma fórmula onde, dado o valor da diagonal de uma tela, é possível calcular diretamente sua área.

Mentira. Vou dizer qual é maior agora e, quem estiver interessado em saber como obtive isto, leia o post até o final.

As telas letterbox (ou seja, 4:3) tem 14,49% a mais de área de tela do que as widescreen. Ou seja, dadas tuas telas de mesma medida diagonal, a tela 4:3 é 14,43% maior que a widescreen.

Agora a explicação.

^{Mas antes, um jabá =)}

Em primeiro lugar, vamos nos situar. O que quer dizer exatamente letterbox e widescreen?

Estes nomes referem-se à proporção entre a base e a altura da tela. No caso do modelo widescreen, isto significa que para cada 16 unidades de comprimento na base da tela, há 9 unidades de altura. No caso da letterbox, há 4 unidades de comprimento para na base da tela para cada 3 unidades na altura.

^{Tela widescreen}

^{Tela 4:3}

Os dois desenhos acima representam telas com 500 pixels de diagonal. Em cada um eu identifiquei base (b), altura (h), diagonal (d) e o ângulo que a diagonal faz com a base. No caso 16:9, chamei este ângulo de A. No caso 4:3, chamei de B.

Para saber quanto vale cada um destes ângulos, usaremos trigonometria básica. Primeiramente, vamos resolver o caso 16:9.

Sabemos que a proporção entre os catetos h e b do triângulo retângulo de ângulo A vale 9/16. Assim, usando a tangente, que é dada pela divisão do cateto oposto (h) pelo cateto adjacente (b) ao ângulo A, temos que a tangente de A vale 9/16=0,5625. Assim, A vale aproximadamente 29,36°.

Usando o mesmo raciocínio para a tela letterbox, vemos que a tangente de B vale 3/4=0,75. Logo, B=36,87°, aproximadamente.

Para calcular a relação entre as áreas das telas, necessitamos, primeiramente, calcular estas áreas. Como as telas são retângulos, suas áreas são dadas por b*h. Assim, sabendo que as bases b e alturas h dos retângulos podem ser dadas em função da sua diagonal d, temos que

b = d*cos(A)
h = d*sen(A).

Logo,

Área = d*cos(A)*d*sen(A) = d²*cos(A)*sen(A).

No caso widescreen, o cálculo acima dá por volta de 0,4325*d². Para o letterbox, 0,4952*d². Dividindo o segundo pelo primeiro, descobrimos a razão 1,1449, o que implica que a tela letterbox é 14,49% maior, em área, que a tela widescreen.

Viram? Para isto servem um diploma de Bacharel em Matemática Aplicada e um quase completo Mestrado em Matemática Pura.