Os diversos tamanhos do infinito

Em primeiro lugar, advirto os leitores: o assunto que vou tratar aqui é, em geral, de difícil assimilação. Eu mesmo tive que ler e reler diversas vezes materiais sobre este assunto para poder me convencer da sua veracidade. Por isso, não considerem-se burros se terminarem o artigo e não conseguirem entendê-lo. É perfeitamente normal.

Em segundo lugar, farei perguntas e gostaria que, antes de vocês prosseguirem com a leitura, respondessem-nas mentalmente ou em algum lugar, de modo que suas respostas possam ser consultadas ao final deste post. São elas:

1. Quantos números naturais {1, 2, 3, 4, …} existem?
2. Quantos números pares {2, 4, 6, 8, …} existem? Quantos números ímpares {1, 3, 5, 7, …} existem? Existem mais números pares, ímpares ou naturais?
3. Quantos números inteiros {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} existem? Existem mais números inteiros ou naturais?

A não ser que vocês já tenham estudado sobre infinitos ou sobre Georg Cantor, a maioria das suas respostas estão erradas. Sim, existem infinitos números naturais, mas a quantidade deles é igual à quantidade de números pares, ímpares e inteiros.

Não, a quantidade de números pares não é a metade da quantidade de números naturais, assim como a quantidade de números inteiros não é o dobro da quantidade de naturais.

Confuso? Impossível? Tentarei explicar porque isto é verdade.

Como descobrimos quantos dedos temos na mão? Como um pastor pré-histórico conseguia controlar o número de ovelhas em seu rebanho? Como sabemos se há o mesmo número de homens e mulheres em uma festa?

Fazemos tudo isto através de funções bijetoras.

A grosso modo, a função bijetora relaciona dois conjuntos de forma que, para cada elemento do conjunto X, haja um e somente um elemento do conjunto Y relacionando-se com ele. Além disso, nenhum elemento de um dos conjuntos pode ficar sem relacionar-se com um elemento do outro conjunto.

Por exemplo, sabemos que temos 5 dedos em cada mão porque podemos criar a função abaixo:

Cada número entre 1 e 5 está relacionado com um dedo, de forma que sabemos que o número de elementos dos dois conjuntos é o mesmo.

Da mesma maneira, o pastor que não sabia contar poderia contabilizar suas ovelhas com um saco cheio de pedras, relacionando cada animal a um mineral. Assim, se ao final do dia houvessem mais pedras do que ovelhas, ele saberia que foi lesado.

Para saber se numa festa há o mesmo número de homens e mulheres, não precisamos contar quantas pessoas há. Basta formar casais. Se sobrarem homens ou mulheres sem par, significa que não havia o mesmo número de pessoas de cada sexo.

Logo, há diversas formas de saber se dois conjuntos possuem o mesmo número de elementos, sem que precisemos saber que número é este.

Utilizando este mesmo raciocínio, é possível ver que a quantidade de números pares e números naturais é a mesma, pois existe uma função bijetora que relaciona estes dois conjuntos. Se tomarmos

onde n é um natural, temos que 1 relaciona-se com 2, 2 relaciona-se com 4, 3 relaciona-se com 6 e assim por diante, até o infinito.

O importante é perceber que não existe número par que não possua um número natural associado a ele e vice-versa. Ou seja, utilizando o critério da função bijetora, percebemos que estes dois conjuntos possuem o mesmo número de elementos.

O mesmo vale para os números ímpares. A função

onde n é um natural, tem nos ímpares o mesmo efeito que a função anterior tem nos pares. Perceba que, para esta nova função, 1 relaciona-se com 1, 2 com 3, 3 com 5, e assim por diante. Ou seja, a quantidade de números naturais e ímpares é a mesma.

Podemos repetir este argumento para os inteiros. Notem que a função

, se n é par

, se n é ímpar

onde n é um natural, relaciona cada número natural com um inteiro e blá blá blá, pois os pares vão nos números positivos e os ímpares nos negativos e no zero.

Portanto, as respostas para as perguntas que fiz no início são, em sua essência, a mesma. A quantidade de naturais, pares, ímpares e inteiros é a mesma.

Mas o leitor mais curioso pode se perguntar: e quantidade de racionais, também é a mesma? Afinal, existem infinitos racionais entre 0 e 1.

E o leitor ainda mais curioso pode se perguntar: e a quantidade de reais, também é a mesma? Afinal, existem infinitos reais entre 0 e 1 e entre os racionais que estão neste intervalo.

Apesar de trivial, deixo para responder esta pergunta no futuro. Chega de conjuntos por hoje.

Curiosidade literária: Cantor definiu a cardinalidade (i.e., o número de elementos do conjunto) dos naturais como sendo Aleph-0. Aleph (ℵ) é a primeira letra do alfabeto hebraico. Aleph (ℵ), segundo Borges no conto (e livro) homônimo, é o ponto que contém todos os outros pontos do universo. Ou seja, é um simulacro do infinito, como a definição presente na teoria de Cantor.