Para uma completa compreensão deste texto, a leitura da parte 1 é recomendada.
Como no primeiro post, advirto-os que o assunto que vou tratar aqui é, em geral, de difícil assimilação. Eu mesmo tive que ler e reler diversas vezes materiais sobre este assunto para poder me convencer da sua veracidade. Por isso, não considerem-se burros se terminarem o artigo e não conseguirem entendê-lo. É perfeitamente normal, ainda mais nesta segunda parte.
Também farei perguntas e gostaria que, antes de vocês prosseguirem com a leitura, respondessem-nas mentalmente ou em algum lugar, de modo que suas respostas possam ser consultadas ao final deste post. Mas antes das perguntas, deixem-me definir duas coisas.
Chamamos de números racionais aqueles números que podem ser escritos na forma p/q, onde p e q são inteiros e q é diferente de zero. Ou seja, os números racionais são os inteiros e as frações. Uma das características dos racionais é ter representação decimal finita (ou infinita periódica). Por exemplo, 0,5 = 1/2 é um racional. -8 = -8/1 é um racional. 1/3 = 0,3333333… é um racional. π = 3,14… não é um racional, pois não possui representação decimal finita. Portanto, π é irracional.
O conjunto dos números reais é formado pela união dos racionais com os irracionais. Assim, qualquer número que não seja complexo é um número real. ?2, -10/11, 29 e -2,3 são números reais.
Isto posto, vamos às perguntas:
- Quantos números racionais existem? Existem mais números naturais ou números racionais?
- Quantos números reais existem? Existem mais números naturais ou números reais?
O argumento utilizado no primeiro post foi o da função bijetora. Logo, para decidirmos se dois conjuntos possuem o mesmo número de elementos, basta encontrar uma função que relacione um, e somente um, elemento de cada conjunto. Tentemos isto com os racionais.
Na figura acima, foram listadas todas as frações positivas existentes. Percebam que no sentido das colunas, os numeradores (parte de cima) das frações variam entre 1 e infinito. No sentido das linhas, o que variam são os denominadores (parte de baixo) das frações. Com isso, temos todas as frações positivas listadas. Se relacionarmos 1 com 1/1, 2 com 2/1, 3 com 1/2 e assim por diante, no sentido das flechas, temos uma função bijetora entre os naturais e as frações positivas. Se fizermos o mesmo com os inteiros negativos e as frações negativas, além de relacionar o zero com o zero (afinal, 0/1 também é uma fração), temos uma função bijetora entre inteiros e racionais. Como há uma função bijetora entre os naturais e os inteiros, também há uma função bijetora entre os naturais e os racionais.
Agora falemos dos números reais. Para isto, suponhamos que exista uma função que relacione os números naturais aos reais entre 0 e 1. Como não é possível determinar qual é o menor número real maior que zero(1), a ordem que usamos para relacionar estes números não importa. Uma configuração possível é esta abaixo:
1 -> 0 , 0 1 0 5 1 1 0 ...
2 -> 0 , 4 1 3 2 0 4 3 ...
3 -> 0 , 8 2 4 5 0 2 6 ...
4 -> 0 , 2 3 3 0 1 2 6 ...
5 -> 0 , 4 1 0 7 2 4 6 ...
6 -> 0 , 9 9 3 7 8 3 8 ...
7 -> 0 , 0 1 0 5 1 3 0 ...
...
1 está para 0,105110… (lembre-se que os números aqui tem representação decimal infinita(2)), 2 está para 0,4132043… e assim por diante. Haverá também um número real relacionado com 1,000, outro com 1,000,000 e com todos os outros naturais.
Agora perceba que há dígitos em negrito no meio a listagem acima. Estes dígitos formam um novo número real, que é
0,0140230…
Eu pegarei estes dígitos, trocarei cada um deles por outro dígito diferentes e criarei um novo. Digamos que seja
0,7239815…
Percebam que, por construção, 0,7239815… é diferente do número relacionado com 1, pelo menos na primeira casa (é diferente em todas, mas isto não é importante). Na primeira casa de 0,7239815… temos 7, enquanto na primeira casa de 0,0105110…, temos 0. Da mesma forma, 0,7239815… é diferente de 0,4132043…, o número relacionado com 2, pelo menos na segunda casa. Enquanto num temos 2, no outro temos 1. Se continuarmos com este raciocínio, o enésimo número real será diferente do natural n na enésima casa.
Assim, construímos um número real diferente de todos os que estão listados acima. Logo, existe pelo menos um número real não listado no diagrama acima. Portanto, não existe uma função bijetora ente os naturais e o intervalo (0, 1) dos números reais. Qual a conclusão disso? Existem mais números reais do que naturais, ou seja, o infinito dos reais é “maior” que o dos naturais.
Se levarmos em conta os resultados anteriores, é um resultado bastante contra-intuitivo.
(1)Suponhamos que o menor real maior que zero seja 0,1. Ora, isto não vale, pois existe 0,01, maior que 0 e menor que 0,1. Suponhamos, então, que o menor real maior que zero seja 0,01. Ora, isto não vale, pois existe 0,001, maior que 0 e menor que 0,01. E assim podemos prossegui enquanto existirem casas decimais, ou seja, para sempre.
(2)Números racionais também possuem representação decimal infinita, mas periódica. Por exemplo, 1/2 = 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,500…
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8 comentários Comentários e trackbacks estão fechados no momento.
Bem… em meus parcos conhecimentos de matemática, aprendemos que no infinito a quantidade de números tende a ser a mesma (redundante… ). Tenho uma opinião, que pode parecer estranha, mas ao meu ver existem infinitas funções bijetoras que associam todos os números reais à todos os números naturais… O problema é que não existe somente uma única função e também não sei se os resultados de cada função são excludentes. Supondo que sim, então a quantidade de números reais infinitos seria dada por (qtde f1 + qtde f2 + … qtde fn), onde qtde fn é a quantidade de números inteiros infinitos… Caramba.. tá dando nó no cérebro!!! hahahahhhah
Fico imaginando na hora que colocar os números Complexos nessa conta…
Luiz, eu não aceito que alguém tenha opinião em matemática. Ao contrário das outras outras ciências, na matemática ou as coisas são ou não são. A partir do momento em que as definições são postas e aceitas por ambas as partes, só se pode chegar a uma conclusão a partir delas.
Neste caso específico, não existe uma função bijetora entre os naturais e os reais, apesar de tu afirmar que existem mais de uma.
Aliás, te lanço um desafio: me mostra uma única função bijetora entre os naturais e os reais. Se houver, escrevemos um post a quatro mãos (ou tu escreve sozinho, se tu quiser), eu publico no blog e devolvo meu diploma pra UFRGS.
Caro Marcus, eu não afirmei que existe mais de uma…. Apenas lancei uma opinião…
Não tenho certeza se o conhecimento matemático nasce de uma certeza definida ou de uma opinião, pois não sou matemático, apenas sou um curioso da área.
A matemática como ciência é definitiva, mas nós como humanos não somos. Somos falhos e provavelmente nosso cérebro atual é tão primitivo como o cérebro dos primeiros matemáticos gregos (eu não acredito que míseros 3000/4000 anos são suficientes para “evoluirmos” e sermos infalíveis. Sendo assim, o conhecimento matemático, pelo menos ao meu ver pode sim ser feito a partir de uma opinião particular.
Caso não fosse assim, então já teríamos todas as respostas para todas as dúvidas existentes (o mundo é feito de números).
Bem, esta é minha humilde opinião, e se você formado garante que não tem nenhuma função bijetora, quem sou eu para questionar? Pode ficar tranquilo com seu diploma… hehehhehehe
Abraços!
Tu pode lançar todas as opiniões que tu quiser. Só não pode dizer algo diferente do que eu disse se não puder provar isto logicamente. A partir do momento que tu aceitou minha definição de função bijetora, tu tem que usar esta definição para provar que eu estou errado (i.e., que existem inúmeras funções bijetoras entre os naturais e os reais).
Nasce de uma opinião. Tu diz que algo é de um jeito e cabe às outras pessoas aceitarem isto ou não. Mas veja bem: a geometria euclidiana, por exemplo, parte de apenas cinco axiomas e deduz uma infinidade de teoremas a partir destas cinco premissas básicas.
Mais ou menos. O universo pode ser aproximado por números. Até o século XX, acreditava-se que ele poderia ser explicado por eles. Que bastava saber as condições iniciais de um problema para saber para onde ele iria, até o final dos tempos. Hoje em dia, com a teoria do caos, sabemos que isto é impossível. Veja bem: não é difícil saber exatamente onde determinado problema vai parar. É impossível.
Não há antigos matemáticos gregos hoje em dia para que possamos ser comparados a eles. O que se pode afirmar é que eles eram excelentes em geometria e péssimos em outras áreas, muito disso devido ao sistema de numeração que eles usavam.
Em relação ao problema que expus aqui, ele é conhecido há mais de 100 anos e muitas pessoas tentaram provar que esta solução está errada. Falharam. Creio que, com as definições que foram postas, ele está plenamente solucionado e livre de possíveis erros que possam ser encontrados futuramente. A lógica usada nele faria sentido para Pitágoras, pra mim e para qualquer sociedade humana futura ou extraterrestre que porventura pode entrar em contato conosco.
Interessante… Obrigado pelas respostas!
Gostaria de saber mais sobre a teoria do Caos, mas de uma maneira mais simples do que a que encontramos na internet….
O caminho do conhecimento é infinito e eu não tenho medo de buscá-lo….
E detalhe, não falei sobre nós compararmos o conhecimento atual com o conhecimento dos gregos, mas que nossos cérebros tem grandes possibilidades de serem biologicamente semelhantes….
Po Marcus, pegou pesado com o Luiz Gustavo :)
Mas acho que eu entendi o que ele quis dizer… não existe UMA função bijetora que relacione inteiros com reais
mas, se vc juntar infinitas funções bijetoras que relacionem inteiros com ALGUNS reais, você consegue cobrir todos os reais
até que faz algum sentido
por exemplo:
função 1:
1 -> 0.1
2 -> 0.2
3 -> 0.3
…
função 2:
1 -> 0.01
2 -> 0.02
3 -> 0.03
etc…
@Luiz Gustavo
Já estudei alguma coisa sobre a teoria do caos aplicada às equações diferenciais ordinárias. Talvez escreva sobre isso algum dia.
Talvez não tenho ficado explícito no meu outro comentário, mas eu concordei com a tua afirmação sobre os cérebros da humanidade. Afirmei que a solução que coloquei para o problema exposto aqui faria sentido para Pitágoras e até mesmo ETs.
Lem0n Valeu.. foi isso que eu tentei falar aqui.. Mas não consegui me expor como deveria….
Afinal não tenho os conhecimentos suficientes… Ou então fui demasiado emocional quando deveria ter sido mais racional…
Marcus… Sabe cara.. fico pensando.. não me considero um nerd superior… (ser nerd e superior muitas vezes é redundante) me considero um nerd diferente.. pra mim tá suficiente pensar diferente…
Sei lá cara..
Abraços e fique bem….