O Último Teorema de Fermat

O teorema de Pitágoras é um dos resultados mais conhecidos (e mais úteis) da Matemática. Para quem não se lembra, o enunciado é bastante simples:

Seja um triângulo retângulo ABC, com catetos a e b e hipotenusa c. A soma dos quadrados dos catetos é igual à soma do quadrado da hipotenusa.

Tal resultado, além das aplicações óbvias em geometria, aparece de uma forma ou outra em praticamente toda vertente desta ciência.

A beleza deste teorema reside tanto em seu poder e utilidade quanto na facilidade em ser demonstrado. Os gregos, que ao contrário dos maias, eram ótimos matemáticos, já conheciam maneiras de provar este resultado. A que exibo logo abaixo não é aquela conhecida no tempo de Pitágoras, pois ele não dispunha da álgebra moderna para auxiliá-lo. Sua prova era estritamente geométrica.

Note, no canto inferior esquerdo, o triângulo retângulo amarelado de lados a, b e c. Sua base b foi aumentada em a unidades, totalizando b + a unidades. Nesta nova extremidade, foi levantada uma perpendicular de altura b + a. O procedimento das perpendiculares foi repetido mais duas vezes, de modo que:

• há 4 triângulos retângulos de lados a, b e c
• há um quadrado externo de lado b + a
• há um quadrado interno de lado c

Assim, igualando a área do quadrado externo de lado b + a com a soma das áreas dos quatro triângulos e do quadrado interno de lado c, temos

que é justamente o teorema de Pitágoras.

Também é conhecido, desde esta época, que trincas de números inteiros podem ser colocadas na equação e ela permanece verdadeira. Por exemplo, com 3, 4, e 5 conseguimos 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².

Assim, uma extensão natural deste teorema seria perguntar se dados quaisquer inteiros a, b, e c, todos não-nulos, e n > 2 a relação

é válida.

Pois foi este o teorema que Pierre de Fermat, em 1637, postulou. E, não contente com isso, escreveu nas margens da sua edição traduzida da Arithmetica de Diofanto,

J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir.

que numa tradução livre seria algo como

MALUCO, consegui provar aquele bagulho lá, mas a margem dessa merda de livro é muito pequena pra conter ela.

Depois disso, Fermat nunca mais tocou no assunto, principalmente depois da sua morte. Assim, o que imaginava como a única demonstração elementar existente para este teorema ficou perdida até hoje.

Digo única demonstração elementar por dois motivos. Primeiro, apesar de excelente matemático, Fermat não dispunha de ferramentas matemáticas muito mais sofisticadas do que as de um aluno que completou o ensino médio nos dias de hoje. Segundo, porque há uma demonstração deste resultado, feita pelo matemático Andrew Wiles, finalmente publicada com um pequeno erro em 1993 e posteriormente corrigida em 1995.

Mas ocorre que, ao contrário da demonstração que mostrei para o caso n = 2, a prova de Wiles para o caso n > 2 é bastante sofisticada. Ele levou 9 anos para completá-la e a versão final possui 109 páginas ma versão original (aqui a versão digital do artigo, disponível para assinantes do The Annals of Mathematics).

Na verdade, no trabalho de Wiles, o Último Teorema de Fermat é um apenas um corolário no final de seu extenso artigo. O principal mote da publicação foi a demonstração da conjectura de Taniyama-Shimura, resultado muito importante no estudo de curvas elípticas.

E, como se supôs durante 358 anos, o Último Teorema de Fermat é verdadeiro para n > 2, ou seja, a relação colocada lá em cima não vale se n > 2.

Assim, aquilo que seria na verdade uma brincadeira, uma curiosidade matemática, acabou servindo para dar um grande impulso no desenvolvimento de um ramo inteiro da Matemática.