O Dul7, o CEO modafoca do Papo de Bêbado, talvez não saiba disso, mas há uma maneira matemática de provar que um bêbado sempre consegue voltar para casa sozinho, desde que tenha condições de caminhar.
Para provar este fato (ou pelo menos dar bons argumentos de que ele é verdadeiro), utilizarei Cadeias de Markov, um conceito matemático introduzido no século XX pelo probabilista russo Andrey Markov.
As Cadeias de Markov possuem uma propriedade simples. Para saber a probabilidade de uma variável aleatória mudar para o estado seguinte, basta que conheçamos seu estado atual. Os estados anteriores podem ser ignorados. Parece complicado, mas a partir do próximo parágrafo, esta ideia se tornará mais fácil de ser entendida.
Mas antes de atacar o problema do bêbado, vou apresentar um conceito mais simples, que depois será estendido para resolver o problema desejado.
O conceito que desejo apresentar é o de Cadeia de Markov. Vou começar pelo exemplo mais simples existente: o passeio aleatório em uma dimensão. Nele, dado que uma partícula está na posição in, a chance dela ir para a posição in+1 é p, enquanto a chance dela ir para in-1 é 1-p.
Matematicamente, podemos expressar isto como
e
.
Assim, o passeio aleatório é dado pela soma destas posições no tempo, ou seja,
Se pensarmos em p=0.5, o passeio aleatório nada mais é do que jogar uma moeda honesta e caminhar na direção que ela indica. Por exemplo, suponha que cara indica um passo para frente e coroa, um passo para trás.
Note que, ao jogar uma moeda algumas dezenas de vezes, não é difícil perceber que o número de caras e de coroas se equivalem. Assim, alguém que começa a se movimentar de acordo com a suposição do parágrafo anterior, invariavelmente voltará ao ponto de partida, inclusive se o espaço disponível para caminhar for infinito.
Oito exemplos de passeio aleatório. Note que a maioria, mesmo em apenas 100 passos, acaba voltando à origem (altura zero).
Mas perceba que construí meu argumento em cima de apenas uma dimensão. Extrapolando esta mesma ideia para duas dimensões, onde podemos usar um dado de quatro lados para caminhar (o popular tetraedro), teremos o mesmo resultado.
Portanto, um bêbado, caminhando aleatoriamente, acabará voltando para casa, desde que tenha tempo suficiente para isso e que se movimente de maneira discreta, apenas indo para frente/trás e para a esquerda/direita.
Um efeito semelhante ocorre no movimento browniano, observado pelo primeira vez em um microscópio, devido ao movimento errático que uma partícula de pólen faz sobre a água parada.
Exemplos de movimentos brownianos
Tecnicamente, isto que fiz aqui não é uma prova, pois não fui nem um pouco rigoroso. Mas o caminho é este; basta formalizar as ideias.
Apesar de parecer semelhante, este problema não tem relação nenhuma com o fato de chimpanzés conseguirem escrever as obras completas de Shakespeare.
Fato interessante: esta característica descrita aqui, a de uma partícula sempre voltar para o ponto de partida, só funciona se as o passeio aleatório for em uma ou duas dimensões. Em 1921, o matemático húngaro George Pólya provou que para dimensões maiores ou iguais a 3, este fato não é verdade. Por exemplo, a probabilidade de um passeio aleatório em 3 dimensões voltar para a origem é de apenas 34%. Assim, concluímos que o homem bêbado sempre volta para casa, mas o passarinho bêbado, que se movimenta em três dimensões (pois pode voar), pode acabar não voltando para seu ninho.
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Hmm. Na verdade se tiver alguma escada ou rampa no caminho do bêbado, ele também não consegue voltar pra casa já que muda o plano 2d dele. ;)
Portanto, pessoal bebam apenas em locais planos e na mesma altitude da sua casa.
Cara, não tem mesmo como não gostar de ciências. Sério, que foda, nunca imaginei que tivesse alguma forma de formalizar a ideia sobre a probabilidade de um bêbado voltar pra casa.
@Nando
O que tu argumentou só é verdade se o número de escadas ou rampas no caminho do bêbado forem infinitos. Se forem finitos, é possível fazer uma bijeção entre o plano original e este “plano” modificado, com algumas alturas, de modo que o novo problema fica reduzido ao problema original.
@marcus
Ah. É verdade. Entendi. Já me sinto melhor pra encher a cara hoje e voltar são e salvo pra casa…
… desde que não seja abduzido por alienígenas em discos voadores com capacidade de se deslocar no tempo e espaço :))
@Nando
Tá tudo bem agora.
por este motivo se diz que essa água passarinho não bebe , seria uma defesa natural contra esse mal , sera este o motivo de conseguirem rastrear o rumo para o sul e para o norte?
Desculpe minha ignorância…
Aquelas expressões ali são brakets? Oo’
@João Ricardo
Não sei o que são brakets.
Ahhhhhhhhhhhhhhhhhh, agora estou bem mais tranquilo.
Brincadeiras a parte, será que isso não se aplica também aos pombos-correio e às aves migratórias?
Na verdade, o que podemos concluir é que um bêbado andando aleatoriamente sempre volta pro bar, ou seja, o ponto de partida…
A menos que tenha saído bêbado de casa.
Esse foi definitivamente o pior post que já li no yahoo, não consigo acreditar que isso tava na página inicial.
huhauhauhau!!! Odeio matemática, mas admito que isso aqui foi megaaaaa legal, nunca imaginei aplicar os números desta forma, aliás não é que eu odeie matemática, a matemática me odeia!!!!! huahuaha!! Parabéns Yahoo, muito diferente e muito legal!!!
Seu argumento é falho. Você apenas diz que o valor esperado do passei aleatório é zero, o que seria suficiente apenas se o bêbado morasse no bar. Na verdade, a probabilidade do passei aleatório em 1 ou 2 d passar por qualquer ponto arbitrário é um, o que prova seu argumento e é muito mais interessante do que apenas voltar para a origem.
Outra coisa interessante de se considerar é o tempo que o bêbado gastaria. *Spoiler* ele morreria de fome antes de chegar em casa.
Modafoca de estocástica…
Nunca vi uma burraxa tao bem elaborada…
Meus parabéns!!!
Pois bem, onde entra a variável amante. Nunca podemos esquecer dela, pois a grandes chances de interferir no retorno do bebado.
Definitivamente, um dos melhores posts que já li aqui no Yahoo! e os comentários foram ótimos. Coincidentemente, quinta-feira apresento um seminário sobre movimento Browniano e ao final citarei este exemplo, mas como “caminhante aleatório”. Ah sim, só lembrando que um movimento Browniano é um processo estocástico contínuo e não discreto, mas sei que não dá para colocar muitos detalhes aqui. Obrigado pela lembrança do exemplo.
Bem, supondo-se que o efeito do álcool acabará passando; então temos que o bêbado chegará em casa independentemente de qualquer estatística…:-)
Mas parece que a coisa é séria mesmo, pois eu, numa de minhas manguaçadas, andei umas 3 horas seguidas sem ter a MENOR IDEIA de por onde estava andando. Apenas apontava o dedo e pensava; “vou por aqui…” E cheguei em casa. É sério.
Muito interessante isso! Mas só homens comentando??? As mulheres ñ estão interessadas em saber como os seus namorados conseguem chegar em casa???
Ótima observação, Madame.
@Wadio
Não tem NADA a ver com o paradoxo de Zenão. O problema que abordei é estocástico, enquanto o outro é determinístico. O problema que abordei não tem uma competição entre dois corredores. E, por fim, o paradoxo de Zenão é resolvido com progressão geométrica, enquanto este utiliza cadeias de Markov.
nossa…Bacana as explicações e os comentarios tb!!!Não entendi bem a questão levantada anteriormente quanto a ter escadas ao longo do caminho…Alguem se habilita a explicar???
ARTIGO INCORRETO:
1º – segundo o argumento do autor, o bar deveria ser o ponto de chegada (e não sua casa, de onde saiu sóbrio).
2º – o comportamento da cadeia não tende ao local de partida. após muitos “passos”, atinge-se o estado estacionário, que pode ser próximo ou não do “local de partida”, a depender da matriz de transição de probabilidades, que no exemplo é bidimensional.
3º – no gráfico mostrado, apenas uma cadeia volta ao ponto de partida, as outras sete não chegam.
@Marcus (Pq @???? rsrs)
Ia> = Vetor “a” (ket)
<bI = Complexo conjugado do vetor "b" (Bra)
= Pronduto interno entre os dois (BraKet)
Ou algo assim….
PS: Reprovei em mecânica Quântica! kkkkkkkk
@Felipe
1º – em nenhum momento foi dito que o bêbado sairia sóbrio de casa, nem que ele passaria por algum bar.
2º – o senhor está errado. Estude um pouco mais de processos estocásticos.
3º – note que o tamanho amostral deste gráfico, 100, é pequeno. Caso fossem prolongados o suficiente, todos os passeios aleatórios voltariam à origem. Isto é facílimo de simular, até mesmo no Excel. Caso tenha curiosidade, entre em contato comigo que te envio um planilha que permite observar isto.
Vou beber..
Estou n eesse exaaato momento saindo bebÂdo dde casaa. Mandareei mensaagem novaemnte quandoi eu voltarrt pra casaa.
Hey Marcus!
Sabe que embora interessante, o teoema de Polya sobre a partícula poder não voltar a origem com probabilidade positiva (e grande) é intuitiva até! Você deve lembrar que quando fizemos processos com a Sarah, este teorema era um dos exercícios e o motivo de ele ser verdade é que de 2 para 3 dimensões, embora vetorialmente falando a dimensão aumenta tanto quanto da reta para o plano, o espaço aumenta bruscamente. Imagine a seguinte construção: 1o Passo: para construir um plano a partir de retas vc precisa ter em mãos infinitas retas reais e colocar uma do ladinho da outra até formar um plano. No big deal right?
2o Passo: agora que temos o planos bidimensional, porecisamos trabalhar para conseguir um plano tridimensional. Para isso imagine que vc passe transversalmente pela origem deste plano recém construído, uma reta. Agora para cada ponto desta reta vc precisa repetir o 1o passo e chãnãnã, aí está o espaço tridimensional prometido.
Quer dizer, vc terá que repetir o Passo 2 um número infinito (e não-enumerável) de vezes. Isso sim é um “BIG DEAL”!!!!
A partir disso, se torna algo natural a conclusão de Polya, não?
Correção: vc terá que repetir o PRIMEIRO PASSO
um número infinito (e não-enumerável) de vezes, e não o passo 2.
Desculpem o typo.
Wadio: falei hoje mesmo sobre Aquiles e a tartaruga. como não sou da matemática ou sequer das exatas, talvez possa traçar uma comparação mais acertada com a lei semiótica da circularidade, em que é necessário admitir um signo anterior para se definir o posterior, perfeitamente aplicável também à teoria dos valores; a origem é icognoscível numa realidade temporal, partindo para o infinito. quem discute belamente o assunto na filosofia recente é Walter Benjamin.
marcus: desculpe, concordo com o Wadio em todos os pontos. gostei da iniciativa, apesar de perceber cristalinamente que ela foi motivada por um certo orgulhinho ferido. essa letra grega aí de somatória é só para parecer mais complicado do que realmente é, quando me explicaram como se faz eu dei risada. NO ENTANTO meu conhecimento sobre cadeias de Markov era ridículo, e agradeço por esclarecer mais um bocado. quanto ao movimento browniano eu nem sabia existir.
André: melhor comentário dentre todos, sem dúvida.
@Guilherme
Ainda acho que este tipo de informação é muito sofisticada para os meus leitores. Não há necessidade de passar tanta informação assim num post de blog, que deve ser algo fácil e rápido de ler.
@Beatrix
O Wadio é um idiota. Apareceu aqui sem saber do que estava falando (repito: Aquiles e a tartaruga não tem NADA a ver com o problema que analisei aqui; o primeiro é um problema dentro dos números racionais, com somatório tendendo ao infinito, enquanto este se encontra em Z2 e é um somatório finito). A letra Σ nada mais é do que uma abreviação, algo muito comum em matemática. Usamos = em vez de igual, + em vez de mais. Isto simplifica e esclarece as demonstrações. Só não entendi a parte do orgulho ferido.
Adorei o post e já estou caçando o que mais foi feito neste gênero neste blog. Ótimo trabalho. A semelhança que Wadio viu era apenas as condições irreais a que se propunha o problema. Chamar as pessoas de idiota diminui a qualidade do seu trabalho.
A qualidade do meu trabalho deve ser medida sem considerar minha qualidades como pessoa. Sendo assim, o senhor, seu Anderson, também é um idiota.
Cara essa teoria é do caral$%^&^# eu fui prum bar e tomei todas e durante 6 dias eu permaneci bebado tentando voltar pra casa e só chegava no bar de onde havia saido bebado, só conseguir ir pra casa pq acabou a cerveja. Bem… com isso a teoria prova tb que se volta sempre ao mesmo estado ou seja bebado e essa coisa de bebado teorico o tempo todo é confirmada pela teoria apresentada neste artigo. Vai uma cerveja ai?
Quando falo na qualidade do trabalho digo sua capacidade de defendê-lo sem chamar as pessoas de idiota. Gostaria de ter visto suas defesas de tese! Mantenho a admiração e este idiota esta te seguindo no twitter agora. Abraços.
Por isso que a água que deixa o homem tonto é a que o passarinho não bebe.
Cara, realmente, estes posts que você mistura matemática com coisas bizarras, como o triangulo amoroso, são os meus preferidos.
Um trackback
[...] O Andar do Bêbado conta uma breve história da probabilidade e da estatística, desde os primeiros estudos a respeito de primitivos jogos de azar da Idade Média, até o início do século XX. O título do livro é uma referência ao movimento browniano, que citei en passant quando comentei a respeito do fato de um bêbado sempre voltar pra casa. [...]