Eis que o camarada Ivan, do Nome Impróprio, me pergunta o seguinte no twitter:
Minha resposta é sim. 7 é primo e sempre será, não importa o quê.
Afirmo isto porque, hoje em dia, números são o que menos importa para a Matemática. A Álgebra, que é a parte da Matemática que estuda a primalidade dos números, não se interessa por números e sim pela relação existente entre elementos de um conjunto, sejam eles números ou não.
Como exemplo, vou utilizar uma estrutura algébrica (e agora acabei de perder 80% dos leitores deste post) chamada corpo (field, em inglês, e não body). Um corpo é um conjunto definido da seguinte forma:
Sejam x, y, z pertencentes a K, um conjunto, e sejam + e * operações binárias neste conjunto, chamadas adição e
subtraçãomultiplicação, respectivamente. K é um corpo se as propriedades abaixo forem satisfeitas:Aditivas
- Para todo x, y, x+y = y+x pertence a K
- Para todo x, y, z, (x+y)+z = x+(y+z)
- Existe um elemento chamado 0 tal que, para todo x, 0+x = x
- Existe um elemento chamado -x tal que, para todo x, x+(-x) = 0
Multiplicativas
- Para todo x, y, x*y = y*x pertence a K
- Para todo x, y, z, (x*y)*z = x*(y*z)
- Existe um elemento chamado 1 tal que, para todo x, 1*x = x
- Existe um elemento chamado x-1 tal que, para todo x, x*x-1 = 1
Distributiva
- Para todo x, y, z, x*(y+z) = x*y+x*z
Notem que em nenhum momento da definição acima se fala em números, apenas elementos. Por uma coincidência fabulosa (heh), os números reais e racionais tem as características acima. Os números inteiros, os naturais e as bananas não.
À primeira vista pode parecer uma construção artificial, que complica a compreensão das propriedades dos conjuntos. Mas isto, em vez de engessar a teoria, é o que justamente a liberta. Percebam que basta que eu encontre conjuntos que satisfaçam estas nove características acima que todas as propriedades que delas decorrerem serão gozadas por todos estes conjuntos.
Por outro lado, se morangos tiverem todas as propriedades listadas acima, os morangos e os números reais são mais parecidos do que pensamos.
Ou seja, propriedades como primalidade, divisibilidade, existência de raiz quadrada sempre estarão atreladas aos números, não importando se o mundo existe ou não, pois são coisas que transcendem o conceito de número. São propriedades das nossas definições de conjuntos que são mais universais do que apenas números.
Por exemplo, o Teorema Fundamental da Aritmética diz que todo inteiro positivo diferente de 1 pode ser decomposto em fatores primos e esta decomposição é única. E esta característica dos números é algo que ocorre sempre, não importando sua base (decimal, binária, hexadecimal), credo ou cor.
Portanto, com os conceitos que temos (e que acredito serem universais), 7 é primo e seria de qualquer forma, mesmo se o mundo não existisse.
No mais, alguém lembra de Contato aí? De qual mensagem foi enviada para o espaço?
QED.
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Acho que a dúvida dele é mais com relação à filosofia que à matemática. Seria algo como “verdades universais/absolutas”.
Por exemplo, “algo é o que é e não é o que não é”; isso supostamente é válido em qualquer lugar.
Agora se os axiomas que usamos tem essa mesma propriedade ou não… não sei.
@Lem0n
Sim, sim. Concordo contigo. O que eu tentei colocar (e talvez não tenha sido claro o suficiente) é que algumas propriedades dos números (e em especial a primalidade) são, a meu ver, coisas universais. Não concebo uma civilização que não se dê conta da existência dos números primos ao realizar divisões inteiras.
Eita, o algebrista baixou dentro de você? Cuidado com isso!!!
Só uma ressalva:
Quando você diz “um conjunto, e sejam + e * operações binárias neste conjunto, chamadas adição e subtração”, na realidade esta última operação não é a multiplicação?
De resto, um largo amplexo para o senhor do matemático (porém não algebrista) do Acre!!!
@ACFP Junior
Quero a álgebra BEM longe de mim. Sou analista, mesmo sem ter muito talento pra coisa.
No mais, tua correção foi oportuna. Já corrigi o texto. Quando o escrevia, pensei numa coisa e escrevi outra.
Valeu pela explicação Marcus, mas ainda tenho minhas dúvidas qto a este teorema.
Esta pergunta, aparentemente complexa para alguns, acaba caindo no dilema da árvore na floresta quando quero simplificar a explicação. Se uma árvore que vive numa floresta de pedras e cai, ela faz barulho?
Parto do pré-suposto que para existir algo, é preciso que alguém veja tal fenômeno. Porém com os números a coisa fica diferente. Como eles estão no universo do abstrato e da perfeição, eles não caracterizam um fenômeno. Mesmo a primalidade dos números não chega a ser um fenômeno.
Tudo isso para vc ver que ainda não me convenceu que o que vc apresentou aí está certo ou errado. ;)
@Ivan
Então tu me fez uma pergunta capciosa, seu safado. Eu já pensei um pouco a respeito da árvore caindo no meio da floresta sem ninguém para ouvir e cheguei à conclusão que, apesar da pergunta não ter solução, a árvore faz barulho. O som nada mais é do que vibrações de algum meio físico. Também sabemos que árvores e solo são duas coisas que convencionamos chamar de sólidas. Além disso, o encontro de duas coisas sólidas sempre causa um impacto cuja energia é dissipada entre os dois corpos e com o meio à sua volta. No caso da árvore na floresta, uma parte deste meio é o ar, que acaba vibrando e esta vibração é traduzida num som. Assim, sempre que uma árvore cai, não importando se há espectador ou não, ela faz barulho.
Claro, tu pode argumentar que as coisas só são sólidas se há um espectador as olhando. Pode ser que, quando estamos fora de casa, todos nossos móveis se evaporem, voltando à forma original só quando voltamos pra casa. Entretanto, não acredito que isto seja verdade, pois sabemos que as propriedades físicas dos materiais são estáveis.
Mas aí tu também pode afirmar que as propriedades físicas dos materiais só são estáveis quando alguém as observa. E aí eu diria que não, pois conhecemos elementos químicos que são estáveis e elementos químicos que não são e as propriedades deles são diferentes.
Mas, de novo, tu pode afirmar que eles só são diferentes quando tem alguém observando e blá blá blá.
Por isso, acho esta uma questão sem solução. Se tu pode sempre afirmar que não podemos checar as propriedades de algo sem observá-los e, com isto, interferir neles (o que é, de certa maneira, um tanto quanto similar ao princípio da incerteza de Heinsenberg), eu também posso afirmar que nunca se viu uma árvore cair e não fazer barulho. A ausência de evidência não é evidência de ausência, já diria Carl Sagan.
Mas eu acredito que sim, a árvore sempre faz barulho quando cai.
@marcus
já foi provado que um observador influencia sim um fenômeno. Logo, não dá para termos certeza que a árvore faz barulho ou não se alguém não está por perto. Pesquise sobre a dualidade dos elétrons que vc achará alguma coisa mais palpável do que este comentário.
A pergunta foi capciosa intencionalmente. Queria ver como um matemático se saía respondendo-a. E vc se saiu muito bem!
“não importando se o mundo existe ou não, pois são coisas que transcendem o conceito de número”, acho que vc quis dizer transcedem o conceito de universo, certo?
me diz uma coisa, como que a álgebra consegue lidar com outras coisas que não são números? Exemplfique
ABS
@Arlen Nascimento
Não. Eu quis dizer o conceito de número mesmo, pois a primalidade é algo que pode ser aplicada, em teoria, a coisas que não são números.
A álgebra pode lidar com vetores, polinômios, funções, matrizes e coisas que não necessitam ser números. Por exemplo, a definição de corpo não serve para matrizes, mas elas formam um grupo abeliano quando a operação considerada é a adição, pois dadas duas matrizes A e B, A+B = B+A. Entretanto, quando consideramos a multiplicação, em geral, A*B != B*A.
Essa eu sabia com maçãs.
Fala Marcus.. será que você pode fazer um post sobre o problema de monty hall?
by the way.. carl sagan era foda!
@Danilo
Talvez.
@Danilo, é simples entender o problema de Monty Hall.
Pense que, ao invés de 3 portas, tem 100 portas.
Você escolhe uma (99% de chance de escolher uma errada). O apresentador, então, abre 98 portas que não contém o prêmio.
–/–
Um problema, muito mais interessante IMO é o http://www.xkcd.com/blue_eyes.html
Fiquei uns 2 dias pensando nele até finalmente compreender.
“me diz uma coisa, como que a álgebra consegue lidar com outras coisas que não são números? Exemplfique
ABS”
Li um artigo há uns bons quatro anos no qual se resolvia o cubo de Rubik utilizando Teoria de Grupos. Não lembro de mencionarem números em tal artigo…