Mas como, um leitor mais apressado pode perguntar.
É simples, respondo eu, com a sapiência que me é peculiar.
E a terceira frase deste post é a última que vai rimar.
Para entender este problema, primeiro temos que postular duas coisas:
- 0,999999… não é 0,999999…9, que termina após um número finito de casas decimais. 0,999999… é um número com infinitas casas decimais. Não importa o quanto avancemos, sempre haverá mais um dígito 9
- Aquiles venceu a tartaruga
Digo isso porque a refutação de Zenon a respeito da impossibilidade do movimento é falsa. Para quem não lembra, Zenon propôs o seguinte problema (abstraiam os dados inicias que coloquei: o que importa neste problema é sua ideia de série infinita de números e não os valores dados a eles):
Suponha uma corrida entre Aquiles e uma tartaruga. Na linha de partida, Aquiles dá 100 metros de vantagem ao animal. que se move com metade da velocidade do herói. Assim, quando Aquiles percorrer estes 100 metros, a tartaruga terá avançado 50. Quando Aquiles percorrer estes novos 50 metros, a tartaruga terá percorrido mais 25. Quando Aquiles percorrer estes 25, a tartaruga terá percorrido 12,5, e assim por diante. Desta forma, Aquiles nunca vencerá esta corrida.
Na Grécia antiga, onde homens nus lutavam agarrados e se desconhecia álgebra não-elementar e teoria ingênua de conjuntos, a resposta de Zenon fazia sentido. Depois que a teoria das séries geométricas foi formulada e demonstrada, só os filósofos, que nunca leem os livros certos, ainda tem dúvidas a respeito deste problema.
Pois as diversas etapas o deslocamento de Aquiles nada mais são do que os termos de uma série geométrica de termo geral an = 2-(n-1), ou seja, a1 = 100, a2 = 50, a3 = 25 e assim por diante.
Matematicamente, sabemos que
onde q é a razão da série, isto é, o fator de multiplicação (constante) entre dois termos. Neste caso, 1/2. Assim, neste problema, para o caso de Aquiles, a1 = 1 e q = 1/2. utilizando a fórmula acima e um pouco de raciocínio, vemos que Aquiles, ao percorrer 200 metros, ultrapassa a tartaruga, pois ela percorrerá apenas 100.
Em geral, o argumento utilizado para refutar a minha correta argumentação, é:
Ololco! Mas é impossível andar 100 metros, depois 50, depois 25, blá blá blá… Isto nunca acaba!
A falácia deste argumento é justamente supor, implicitamente, que o somatório de uma série infinita de termos sempre diverge. No caso, a soma dos tempos entre uma avaliação e outra da posição dos competidores. Hoje sabemos que isto é falso quando os termos desta série vão diminuindo e se aproximando de zero, como neste caso. A série na qual os tempos da corrida são analisados é simples: começa em um e vai caindo sempre pela metade. Logo, Aquiles precisa de apenas dois segundos para ultrapassar a tartaruga, se ele se mover a um metro por segundo.
Portanto, graças às séries infinitas, hoje em dia todos podemos concluir, com absoluta segurança, que Aquiles vence a tal corrida.
Bem, todos concluem isto, exceto os filósofos que não leem as novidades(1) acadêmicas da matemática.
Agora, percebam que 0,99999… = 0,9 + 0,09 + 0,009 + …, ou seja, é outra série geométrica infinita, desta vez com razão 1/10. Utilizando o mesmo argumento acima, é fácil ver que a soma destes termos é exatamente 1, como afirmado no início do texto.
(1)Novidade que já tem alguns séculos
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É só mostrar Need For Speed para esses viados, não precisa de uma explicação matemática :D
Poxa, Marcus, este post chegou com 3 dias de atraso para mim!!!
Senão poderia utilizá-lo, com os devidos créditos, na minha prova final sobre progressões que elaborei nesta terça-feira para os alunos.
Apesar de já conhecer o “Paradoxo de Zenon”, eu havia esquecido de mencionar este fato da PG nele quando comentei sobre ele para os meus alunos.
Ah, é sempre bom ver algum post novo no RSS do Grande Abóbora… para mim, soa como o “Senta que lá vem a história”, do Rá-Tim-Bum…
na verdade, a solução foi proposta por filósofos também, na própria grécia antiga (apenas alguns anos depois): http://en.wikipedia.org/wiki/Zeno%27s_paradoxes#Proposed_solutions
@Lem0n
Entretanto, a formalização da prova só veio a acontecer alguns séculos depois.
Eu cliquei like no GReader, mas eu só li um pouco além da parte que vc fala da sapiência que lhe é peculiar.
Cause that’s sexy.
desculpaí to beus
nesse caso também é válido lembrar que, assim como 0,44444444… é 4/9, a forma racional de 0,99999 é 9/9, ou seja, 1? ou não tem nada a ver?
@Gust
Não pensei por este lado, mas deve haver alguma relação sim.
ó, como o meu texto tá ficando cada vez mais maluco e provavelmente vai demorar até sair, vou adiantar algumas das minhas ideias pra você (e só pra você):
1. concordo. a proposta está errada matematicamente, ele ignora as séries e é possível achar uma solução que satisfaça nesse sentido. é como Kepler tentando entender a dinâmica do universo através de sólidos platônicos contidos em esferas.
2. Aquiles é personagem mítica, com multiplicidade de significados, e deve ser vista como tal. a sua solução parte de uma abordagem literal e presa ao símbolo.
3. a demonstração de Zenon pode ter sido equivocada nesse sentido, mas não anula a proposta eleática de que todo movimento é ilusão sensorial. esse tipo de pensamento é demasiado abstrato e não se aplica no universo tangível, mas à essência imutável que gera toda mutação.
4. a corrida não se dá num espaço físico real.
5. se fosse num círculo, representação melhor de uma situação paradoxal que a linha reta, Aquiles ultrapassaria a tartaruga mais vezes num espaço menor de tempo, dando a impressão de multiplicidade, ou até que ela está parada. assim que ele coloca o pé à frente de sua cabeça, volta ao início.
6. o diálogo que Carroll escreveu é um ótimo complemento, porque atinge a questão em seu cerne – a impossibilidade da linguagem humana (Aquiles), seja científica ou religiosa, de alcançar a Verdade (Tartaruga). é sempre preciso uma “presunção” inicial.
(7. 0,9999 = 1 porque ambos não existem a não ser em relação ao outro. não existe o momento exato em que 9 passa a 0, e 0 passa a 1. nem precisa de conta pra sacar. e isso corrobora o artíficio do impossível a que Carroll chama atenção.)
8. corrija-me se estiver errada.
agora que vi no link que deixaram acima:
Another proposed solution is to question the assumption inherent in Zeno’s paradox, which is that between any two different points in space (or time), there is always another point. Without this assumption there are only a finite number of distances between two points, hence the infinite sequence of events is avoided, and the paradox resolved.
é isso aí.